|
Übersicht zur Dreiecksberechnung
In jedem Dreieck ABC gilt die Dreiecksungleichung:
Die Summe zweier Seitenlängen ist größer als die dritte
Seitenlänge.
Demzufolge gelten zugleich: a + b > c und a
+ c > b und b + c > a.
Für den Flächeninhalt eines Dreiecks ABC gilt
allgemein:  .
Für die Winkel im Dreieck ABC gilt der Innenwinkelsatz:
a +
b +
g =
180°.
Außerdem gilt bei verschieden langen Seiten:
Der kleineren
Seite eines Dreiecks liegt stets auch der kleinere Winkel
gegenüber!
|
|
Trigonometrie in beliebigen
Dreiecken | |
|
|
Wichtige Punkte des
Dreiecks | |
|
|
|
|
Der Umkreismittelpunkt ist der
gemeinsame Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten der
Seiten des Dreiecks. 
Der Inkreismittelpunkt ist der
gemeinsame Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden der
Innenwinkel des Dreiecks.
Der Schwerpunkt S ist der
gemeinsame Schnittpunkt der drei Seitenhalbierenden der
Seiten des Dreiecks. Er teilt jede Seitenhalbierende vom
Eckpunkt des Dreiecks aus im Verhältnis 2 : 1.
In jedem Dreieck schneiden sich die drei Höhen bzw. ihre
Verlängerungen in einem gemeinsamen Punkt, dem
Höhenschnittpunkt H.
Bei einem spitzwinkligen
Dreieck liegt H innerhalb, bei einem stumpfwinkligen Dreieck
außerhalb des Dreiecks. Im rechtwinkligen Dreieck ist H der
Eckpunkt, der der Hypotenuse
gegenüberliegt. | |
|
Flächeninhalt (Varianten):
 | |
|
ABC sei ein rechtwinkliges Dreieck mit
g als rechtem Winkel. Dann nennt man c die
Hypotenuse und a und b die Katheten.
Es gilt: c > a und c > b.
a und b sind spitz!
Die Hypotenuse c wird durch die Höhe hc in die
Hypotenusenabschnitte p und q zerlegt.
Satz des Pythagoras: a2 + b 2
= c2
Kathetensatz: a2 = c × p und b2 = c × q
Höhensatz: hc2 = p
× q
Flächeninhalt: 
Beziehungen für die beiden spitzen Winkel:
 | |
|
Sinussatz:
a : b : c = sin a : sin b : sin g
bzw.  und  und  .
anwendbar bei: sSW und
sSw
Achtung: Sind zwei Seiten und der
Winkel, welcher der kleineren Seite gegenüberliegt, gegeben
(sSw), so kann die Aufgabe unter Umständen zwei oder auch
keine Lösung besitzen! | |
|
Kosinussatz:
a2 = b2 +
c2 – 2bc × cos a
b2 = a2 +
c2 – 2ac × cos b
c2 = a 2 +
b2 – 2ab × cos g
anwendbar bei: sss oder
sws | |
